Przejdź do zawartości

Koło pakowane w okrąg

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Koło pakowane w okrąg – dwuwymiarowy problem rozmieszczenia kół o stałym promieniu w okręgu o jak najmniejszym promieniu.

Tabela minimalnych rozwiązań problemu (w przypadku kilku rozwiązań przedstawiono tylko jeden wariant):[1]

Liczba okręgów wpisanych o promieniu r=1 Promień okręgu, w który wpisane są okręgi Gęstość Optymalność rozwiązania Schemat
1 1 1.0000 Trywialna.
2 2 0.5000 Trywialna.
3 ≈ 2.154... 0.6466... Trywialna.
4 ≈ 2.414... 0.6864... Trywialna.
5 ≈ 2.701... 0.6854... Trywialna, wykazana przez R. Grahama w 1968 r.[2]
6 3 0.6667... Trywialna, wykazana przez R. Grahama w 1968 r.[2]
7 3 0.7778... Trywialna.
8 ≈ 3.304... 0.7328... Optymalność wykazana przez U. Pirla w 1969 r.[3]
9 ≈ 3.613... 0.6895... Optymalność wykazana przez U. Pirla w 1969 r.[3]
10 3.813... 0.6878... Optymalność wykazana przez U. Pirla w 1969 r.[3]
11 ≈ 3.923... 0.7148... Optymalność wykazana przez H. Melissena w 1994 r.[4]
12 4.029... 0.7392... Optymalność wykazana przez F. Fodora w 2000 r.[5]
13 ≈4.236... 0.7245... Optymalność wykazana przez F. Fodora w 2003 r.[6]
14 4.328... 0.7474... Uważa się za optymalne.[7]
15 ≈ 4.521... 0.7339... Uważa się za optymalne.[7]
16 4.615... 0.7512... Uważa się za optymalne.[7]
17 4.792... 0.7403... Uważa się za optymalne.[7]
18 ≈ 4.863... 0.7611... Uważa się za optymalne.[7]
19 ≈ 4.863... 0.8034... Optymalność wykazana przez F. Fodora w 1999 r.[8]
20 5.122... 0.7623... Uważa się za optymalne.[7]

Podobne dane są dostępne na stronie internetowej Packomania w zakresie do 2600 kręgów.

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Erich Friedman, Circles in Circles on Erich's Packing Center. [dostęp 2014-11-23]. [zarchiwizowane z tego adresu (2020-03-18)].
  2. a b R.L. Graham, Sets of points with given minimum separation (Solution to Problem El921), Amer. Math. Monthly 75 (1968) 192-193.
  3. a b c U. Pirl, Der Mindestabstand von n in der Einheitskreisscheibe gelegenen Punkten, Mathematische Nachrichten 40 (1969) 111-124.
  4. H. Melissen, Densest packing of eleven congruent circles in a circle, Geometriae Dedicata 50 (1994) 15-25.
  5. F. Fodor, The Densest Packing of 12 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 41 (2000) ?, 401–409.
  6. F. Fodor, The Densest Packing of 13 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 44 (2003) 2, 431–440.
  7. a b c d e f Graham RL, Lubachevsky BD, Nurmela KJ,Ostergard PRJ. Dense packings of congruent circles in a circle. Discrete Math 1998;181:139–154.
  8. F. Fodor, The Densest Packing of 19 Congruent Circles in a Circle, Geom. Dedicata 74 (1999), 139–145.

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]